Arithmétique
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I. Multiples et diviseurs, nombres premiers
Multiples et diviseurs
L’entier naturel a est un multiple de l’entier naturel b signifie qu’il existe un entier k tel que : a = k × b.
On dit alors que « a est un multiple de b » ou que « a est divisible par b ».
Exemple : 15 = × donc :
15 est un multiple de et de .
et sont des diviseurs de 15.
Nombres premiers
Définition : un nombre premier est un entier naturel qui n’admet que 2 diviseurs.
Exemples de nombres premiers :
Remarque : 1 n’est pas premier car .
Critères de divisibilité
- Un nombre est divisible par deux s’il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
- Un nombre est divisible par cinq s’il se termine par 0 ou 5.
- Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
- Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples :
- Le nombre 135 est divisible par , et non divisible par .
- Pour le nombre 561, on calcule : 5 + 6 + 1 = 12 puis 1 + 2 = 3.
561 est divisible par mais pas par .
Diviseurs communs à deux nombres
d est un diviseur commun de deux nombres a et b signifie que a et b sont divisibles par d.
Les diviseurs communs de 12 et 18 sont : ; ; et .
Deux nombres sont premiers entre eux signifie que leur seul diviseur commun est 1.
Les diviseurs de 12 sont : .
Les diviseurs de 35 sont : .
Le seul diviseur commun à 12 et 35 est .
12 et 35 sont premiers entre eux.
II. Décomposition et fractions irréductibles
Décompositions
Propriété : on peut toujours décomposer un nombre entier en produit de plusieurs facteurs premiers.
Exemple :
| 588 | 2 |
| 294 | 2 |
588 = × ×
Fractions irréductibles
Définition : une fraction ab est irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.
On peut simplifier une fraction en décomposant le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers.
Exemple : 120 = × × et 84 = × × , alors 12084 =