Mathématiques 3eSommaire

Homothéties

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Définition : k étant un nombre relatif non nul, une homothétie de rapport k permet d’ ou de une figure :

  • à partir d’un point choisi comme centre,
  • dans le rapport k si k > 0 ou dans le rapport −k si k < 0.

Exemples

Le triangle A′B′C′ est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport k = 0,5.

Triangle ABC et son image A′B′C′, deux fois plus petite, du même côté du centre O

Le triangle A′B′C′ est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport k = −0,5.

Triangle ABC et son image A′B′C′, deux fois plus petite, de l’autre côté du centre O

Construction

Pour construire l’image M′ d’un point M par l’homothétie de centre O et de rapport k, il faut :

  • Tracer la droite (OM).
  • Reporter les longueurs telles que :
    • si k < 0 alors OM′ = −k × OM, et M et M′ sont situés de part et d’autre de O ;
    • si k > 0 alors OM′ = k × OM, et M et M′ sont du même côté par rapport à O.

Exemples : avec k = 3, M′ est du même côté que M par rapport à O et OM′ = 3 × OM ; avec k = −1,5, M′ est du côté opposé à M et OM′ = 1,5 × OM

Propriétés

  • Si −1 < k < 1 alors l’homothétie est une .
  • Si k > 1 ou k < −1 alors l’homothétie est un .
  • Une homothétie de rapport 1 n’effectue .
  • Une homothétie de rapport −1 est une .

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