Théorème de Thalès
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I. La propriété de Thalès
On donne (BM) et (CN) deux droites sécantes en A telles que (MN) // (BC). Trois cas sont possibles :
Étant donné deux droites (BM) et (CN) sécantes en A,
SI (MN) // (BC) alors on a : AMAB = ANAC = MNBC
Remarque : les triangles ABC et AMN sont . Ils ont des côtés dont les mesures sont respectivement proportionnelles.
Le tableau suivant est un tableau de proportionnalité (on passe de la 1re ligne à la 2e en multipliant par k) :
| Côtés du triangle AMN | AM | AN | MN |
|---|---|---|---|
| Côtés du triangle ABC | AB | AC | BC |
Exemple
Sur la figure, on donne (PG) // (HA).
On cherche à calculer PG et IA.
Les droites () et () sont sécantes en I et () // ().
D’après la propriété de Thalès, on peut écrire : IPIA = IGIH = PGHA, c’est-à-dire : 4IA = 26 = PG10
Calcul de IA :
Calcul de PG :
II. La réciproque du théorème de Thalès
Soit deux droites (BM) et (CN) sécantes en A.
SI AMAB = ANAC
ET SI les points A, B et M d’une part, les points A, C et N d’autre part, sont alignés dans le même ordre,
ALORS les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Exemple 1
La figure n’est pas à l’échelle.
(BC) et (MN) sont-elles parallèles ?
Comparons les rapports AB et AN :
AB = = 2
AN = = 3
donc AB AN
Les points A, B et M sont dans le même ordre que les points , et .
D’après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Exemple 2
La figure n’est pas à l’échelle.
(BC) et (MN) sont-elles parallèles ?
Comparons les rapports AB et AN :
AB = =
AN = =
donc AB AN
D’après la contraposée du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
III. Agrandissement – Réduction
On donne (BM) et (CN) deux droites sécantes en A telles que (MN) // (BC).
AM = k AB, AN = , MN =
On a alors :
PérimètreAMN = × PérimètreABC
AireAMN = × AireABC
Si k < 1 alors le triangle AMN est du triangle ABC.
Si k > 1 alors le triangle AMN est du triangle ABC.
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k :
- les longueurs sont multipliées par ;
- les aires sont multipliées par ;
- les volumes sont multipliés par .